Epälineaariset ilmiöt

Luonnonilmiöiden dynamiikkaa eli aikakehitystä voidaan useimmiten kuvata differentiaaliyhtälöillä (jatkuva aika ja/tai paikka) tai differenssiyhtälöillä (diskreetti aika ja/tai paikka). Usein lähtökohdaksi otetaan lineaarinen yhtälö ja mahdolliset epälineaariset termit käsitellään häiriöinä. 1960-luvulta alkaen on kiinnitetty huomiota siihen, että epälineaariset termit voivat nostaa esille aivan uusia ilmöitä ja käyttäytymistä.

Hyvä esimerkki edellisestä on kaaos ja siihen läheisesti liittyvä herkkä riippuvuus alkuarvoista (perhosefekti): ajan kulkiessa eteenpäin epälineaarisuus vahvistaa alkutilojen mahdollisia pieniä eroja, eikä systeemin tulevaisuutta voida ennustaa kovinkaan pitkälle eteenpäin.

Epälineaarisuus voi myös vaikuttaa päinvastaisella tavalla, luomalla koheressia. Esimerkkinä tästä ovat matalan veden solitoni-aallot (joiden katastrofimaisena sovelluksena ovat tsunamit). Solitoneissa epälineaarisuus pyrkii siis kokoamaan ja säilyttämään rakenteita, päinvastoin kuin kaaoksessa.

Solitonien matemaattinen tutkimus käynnistyi 1967 ja on aikaa myöden laajentunut moneen suuntaan. Solitonit ovat esimerkkejä ns. integroituvista systeemeistä, joiden taustalta löytyy paljon mielenkiintoista matematiikkaa.

Ryhmässämme tutkitaan epälineaarisia ilmiöitä nimenomaan koheressin puolelta ts. integroituvia systeemeitä. Linkkejä näihin liittyviin julkaisuihin löytyy oikealta ylhäältä.

 Tukimuksemme on viime aikoina keskittynyt seuraaviin aiheisiin:

  • diskreettien- eli differenssiyhtälöiden matemaattisiin ominaisuuksiin, jolloin menetelmät ovat algebrallisia ja työkaluina symbolilaskentaohjelmat
  • topologisiin solitoneihin erityisesti Faddeevin-Skyrmen mallissa ja sen sovelluksissa, joilloin käytetään lähinnä numeerisia menetelmiä

Yhteyshenkilö: Jarmo Hietarinta

19.08.2008 09:19 Pekka Lahti